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Le théoreme de pythagore, dans la vie de tous les jours
Le théorème de Pythagore fait parti de la vie de tous les jours…
Par exemple les triangles rectangles classiques comme le 3 – 4 – 5 ou le 5 – 12 – 13 qui étaient utilisés abondement chez les maçons ou dans le bricolage mais aussi en architecture. Une base pour le métier de géomètre. De même, il est tellement facile de trouver la hauteur ‘h’ d’un mur quand on y met une échelle de longueur ‘l’ à une distance ‘d’ d’un mur (h² = l² – d²).
A l’inverse, on s’appuie aussi sur le théorème pour connaitre si un angle est droit ou pas.
Démonstration du therome de Pythagore, ma préférée !
Plusieurs démonstrations du théorème de Pythagore existent, comme celle basée sur les triangles semblables ou celle reliée avec la géométrie analytique.
Mais ma préférée est celle de la construction géométrique qui s’appuie sur le calcul des aires de carrés. Elle permet d’élargir le champ de ‘vision’ en regardant au delà du simple triangle rectangle qui est devant soi. Elle est de plus accessible au collégiens car tout à fait à leur niveau en écrivant de 2 façons différentes la surface d’un carré.
Démonstration géométrique dite par dissection
On parle ici de ‘dissection’ car on découpe la figure en morceaux et on les réarrange de manière astucieuse pour faire apparaitre les triangles et carrés
Cette méthode est très intéressante car elle est très visuelle, ne demande que très peu de calcul ou du moins ils sont très simples et ils sont basés sur des aires de carrés et triangles.
Le théorème de Pythagore parle de nombre au carré. Qui dit carré, dit surface…..
Regarde le triangle rectangle (abc). Dessine le carré ‘c’ et le carré (a+b). Le triangle rectangle (abc) se répète ainsi 4 fois.
il suffit alors d’écrire de 2 façons différentes l’aire du carré (a+b). Une première fois classiquement avec le carré du coté, soit (a+b)².
Une deuxième façon en additionnant toutes les aires des figures dans le carré (a+b). Ces aires sont :
- l’aire du carré ‘c’ : c²
- la somme des 4 aires du triangle (abc) qui se répète 4 fois. l’aire du triangle est la moitié du rectangle correspondant soit ab/2
On obient ainsi facilement que :
(a+b)² = c² + 4 . (ab/2)
En développant (a+b)² (ou double distributivité) et en élimant les termes 2 . ab. On obtient facilement que c² = a² + b²
Une autre façon toute aussi élégante est de se focaliser cette fois sur le carré ‘c’ et de y mettre 4 triangles rectangle (abc) à l’intérieur de celui-ci. Au centre de celui-ci apparait alors un plus petit carré dont on calcule très facilement que son coté est (b-a) comme l’indique la figure jointe.
De la même façon que précédemment, il suffit alors d’écrire de 2 façons différentes l’expression de l’aire du carré ‘c’. Une première fois classiquement comme le carré du coté, soit c².
Une deuxième façon en additionnant toutes les aires des figures qui se trouvent dans le carré ‘c’. Ces aires sont :
- l’aire du carré (b-a) soit (b-a)²
- la somme des 4 aires du triangle (abc) qui se répète 4 fois. l’aire du triangle est la moitié du rectangle correspondant soit ab/2
On obient ainsi facilement que :
c² = (b-a)² + 4 . (ab/2)
En développant (b-a)² (ou double distributivité) et en élimant les termes 2ab. On obtient facilement que c² = a² + b²
Pour aller plus loin...
Voilà cette démonstration du théorème de Pythagore par la géométrie dite de dissection qui est très visuelle et simple, ce qui permet dès le niveau collège en classe de 5ème de pouvoir comprendre et surtout, et c’est le plus important ici, de « jouer » avec les mathématiques.
Pour aller plus loin et en faisant plus de recherche sur l’histoire des mathématiques, on peut se rendre compte qu’il existe des approches plus anciennes que Pythagore. Celui-ci a vécu aux environs de 550 ans avant JC, et on note qu’il y a déjà des traces du théorème sous les Babyloniens ou même en Chine. Les Babyloniens avaient déjà publié des tablettes d’argile sur lesquelles ils reliaient ou mettaient en rapport les triplets 3 4 et 5 ou 5 12 et 13. Ces tablettes datent de 1800 ans avant JC et sont actuellement conservée à ‘Columbia University’ à New York. Les historiens pensent que c’était probablement un outil pour les scribes ou un tableau de calcul pour résoudre des problèmes.
Mais c’est bien à Pythagore et aux Grecs qu’on retient la vrai première démonstration géométrique rigoureuse du théorème. Mais la relation était déjà utilisée dans d’autres civilisations bien avant.
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